Aljabar Linier

A.       Pengertian Aljabar Linier

       Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar abstrak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan. Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen­elemen yang dapat dikombinasika dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya dan juga boleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasan-pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol-simbol.

B.       Pengertian Matriks

       Matriks merupakan salah satu ekspresi metematis yang sangat banyak dipakai dalam aplikasi. Secara umum, matriks merupakan sekumpulan informasi yang diletakkan sehingga membentuk baris-baris dan kolom-kolom.

       Matriks A pada medan K, atau singkatnya matriks A (jika K adalah implisit) susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalalm bentuk berikut :

a₁₁       a₁₂        ...         a_1n

A =      a₂₁      a₂₂                    a_2n

...       ....        ...         ...

a_m1     a_m2       ...         a_mn

          Baris-baris dari matriks A seperti ini adalah m deretan horizontal yang berisi skalar-skalar :

          (a_11, a_12, ..., a_1n), (a_21, a_22, ..., a_2n), ....., (a_m1, a_m2, a_mn)

       Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom disebut matriks m x n. Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris dan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Sebuah matriks yang seluruh entrinya adalah nol disebut matriks nol dan biasanya dinotasikan dengan 0.

Contoh :

(a)  Susunan persegi panjang A = 1     -4      5     adalah matriks 2 x 3. Barisnya

                                               0     3       -2

adalah (1,-4,5) dan (0,3,-2), sedangkan kolomnya adalah

                                               1          -4         5

                                                           0          3          -2

 

(b) matriks nol 2 x 4 adalah matriks 0 =      0   0   0  0

                                                                     0   0   0  0

C.           Matriks Perjumlahan

     Misalkan A=(a_ij) dan B=(b_ij) adalah dua matrik dengan ukuran yang sama,

katakanlah matriks m x n. Jumlah dari A dan B, ditulis A+b, adalah matriks

yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian

dari A dan B.                    

Contoh :

Misalkan

                   1     -2    3                 4     6       8

     A     =    0     4     5       B =    1     -3      -7     Maka

 

                   1+4        -2+6       3+8               5       4          11

     A+B =   0+1        4+(-3)    5+(-7)       =  1       1          -2

Rumus penjumlahan matriks dan perkalian skalar :

1.    (A+B) + C = A + (B+C)

2.    A + 0 = A

3.    A + (-A) = 0

4.    A + B = B + A

5.    K₁ (A + B) = K₁A +K₁B

6.    (K₁ + K₂)A = K₁A + K₂A

7.    (K₁ K₂)A = K₁ (K₂ A)

8.    1. A = A, 0 .A = 0

D.           Matriks Perkalian

     Misalkan 2 buah matriks A = (a_ij) dan B = (b_ij) sedemikian rupa sehingga jumlah kolom A = jumlah baris B, atau A_{m ‘p} dan B_p’n, maka matriks AB adalah sebuah matriks hasil perkalian A dan B di mana elemen-elemennya dihasilkan dengan mengalihkan baris-baris A kepada kolom-kolom B :

                

                 A₁.B₁   A₁.B₂          ....   A₁.B_n

     AB =   A₂.B₁   A₂.B₂          ....   A₂.B_n

                 .......     .........     ....      ........

                 A_m.B₁  A_m.B₂         ....   A_m.B_n

      Contoh :

     Misalkan     1   2        1   1   = 1.1+2.0    1.1+2.2       =   1       5         

                        3   4        0   2        3.1+4.0    3.1+4.2            3       11

                

                        1   1        1   2   =  1.1+2.0    1.1+2.2       =   4       6

                        0   2        3   4        0.1+2.3    0.2+2.4            6       8

     Contoh 2 :

                                      3

                      (7,-4,5)          2       = 7(3) + (-4)(2) + 5(-1) = 21-8-5 = 8

               -1

Misalkan A, B dan C adalah matriks. Maka, hasil kali dan jumlah dari matriks-matriks tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut :

1.      (AB)C = A(BC) (hukum asosiatif)

2.      A(B + C) = AB + AC (hukum distributif kiri)

3.      (B + C)A = BA + CA (hukum distributif kanan)

4.      K(AB) = (kA) B = A (kB), dimana k adalah skalar